Эффективность выполнения операций над нечетко представленными данными (нечеткими множествами и отношениями) при моделировании объектов в условиях неопределенности во многом определяется сложностью организации нечетких вычислений, которая, как правило, основывается на предложенном Л. Заде принципе расширения с использованием четкой функции в качестве отображения. При определенных условиях операции над функциями принадлежности нечетких множеств и отношений, базирующиеся на принципе расширения Л. Заде, равнозначны интервальным операциям над их α-уровнями, которые вычисляются существенно проще. Доказательство этих результатов основывается на теореме Х. Нгуена. В ряде работ организация нечетких вычислений обобщается на случай нечеткого отображения между функциями принадлежности нечетких множеств и отношений на основе обобщенного принципа нечеткого расширения. Однако в этих исследованиях до сих пор не была решена проблема представления и доказательства возможности реализации этого принципа при переходе от операций над функциями принадлежности нечетких множеств и отношений к альтернативным операциям над их α-уровнями. В статье описывается реализация нечеткого отображения между нечеткими множествами и отношениями, основанная на нечеткой композиции функций принадлежности нечетких множеств и нечетких отношений. Предлагается трактовка обобщенного принципа нечеткого расширения, основанного на нечеткой композиции характеристических функций α-уровней нечетких множеств и отношений, а также базирующийся на этом принципе метод нечетких вычислений. Доказано условие равнозначности результатов нечеткой композиции на основе двух рассмотренных подходов, а также выполнена сравнительная оценка сложности вычислений и степени параллелизма при их реализации. Использование предлагаемого обобщенного принципа нечеткого расширения и базирующегося на нем метода нечетких вычислений позволяет существенно упростить и распараллелить реализацию нечетких вычислений при моделировании в условиях неопределенности за счет использования нечисловых (логических) операций над значениями характеристических функций α-уровней нечетких множеств и отношений вместо вычислительных операций над действительными значениями функций принадлежности этих нечетких множеств и отношений. Полученные результаты являются развитием теории нечетких вычислений и востребованы для эффективной реализации операций над нечетко представленными данными в задачах моделирования объектов и процессов в условиях неопределенности.
Ключевые слова
нечеткое множество, нечеткое отношение, нечеткое отображение, нечеткая композиция, метод нечетких вычислений, моделирование в условиях неопределенности, обобщенный принцип нечеткого расширения, α-уровень нечеткого множества и отношения, характеристическая функция
